Клуб “Абакус”

 Історія математики

Історія математики — галузь знань, що займається дослідженням походження та розвитку математичних відкриттів і методів, а також математичних праць минулого.

Математика виникла з давніх-давен з практичних потреб людини, її зміст і характер з часом змінювались. Від початкового предметного уявлення про ціле додатне число, від уявлення про відрізок прямої, як найкоротшу відстань між двома точками. Математика пройшла довгий шлях розвитку, перш ніж стала абстрактною наукою з точно сформованими вихідними поняттями і специфічними методами дослідження. Нові вимоги практики, розширюють обсяг понять математики, наповнюють новим змістом старі поняття.

Поняття математики абстраговані від якісних особливостей специфічних для кожного даного кола явищ і предметів. Ця обставина дуже важлива у застосуванні математики. Так, число 2 не має якогось певного предметного змісту. Воно може відноситися і до двох книг, і до двох верстатів, і до двох ідей. Воно добре застосовується і до цих і до багатьох інших об’єктів. Так само геометричні властивості кулі не змінюються від того, зроблено її зі сталі, міді чи скла. Звичайно, абстрагування від властивостей предмету збіднює наші знання про цей предмет і його характерні матеріальні особливості. В той же час саме це абстрагування надає математичним поняттям узагальненості, даючи можливість застосовувати математику до найрізноманітніших за природою явищ. Це означає, що одні й ті ж закономірності математики, один і той же математичний апарат можуть бути достатньо успішно застосовані до біологічних, технічних, економічних та інших процесів.

Розвиток математики опирається на писемність і вміння записувати числа. Напевно, стародавні люди спочатку висловлювали кількість шляхом малювання рисок на землі або видряпували їх на деревині. Стародавні інки, не маючи іншої системи писемності, представляли і зберігали числові дані, використовуючи складну систему мотузяних вузлів, так звані кіпу. Існувало безліч різних систем числення. Перші відомі записи чисел були знайдені в папірусі Рінда, створеному єгиптянами Середнього царства. Індська цивілізація розробила сучасну десяткову систему числення, що включає концепцію нуля.

Абстрагування в математиці не є її винятковою особливістю, оскільки всілякі загальні поняття містять в собі деякий елемент абстрагування від властивостей конкретних речей. Але в математиці цей процес йде далі, ніж у природничих науках. У ній широко використовують процес абстрагування різних ступенів. Наприклад, поняття групи виникло внаслідок абстрагування від деяких властивостей чисел та інших уже абстрактних понять. У математиці специфічним є також метод одержання результатів. Якщо природознавець, доводячи будь-яке твердження, завжди використовує дослід, то математик доводить свої результати лише на основі логічних міркувань. Жодний результат у математиці не можна вважати доведеним, поки йому не дано логічного обґрунтування, хоч спеціальні досліди і підтвердили його. В той же час істинність математичних теорій перевіряється на практиці, але ця перевірка має особливий характер. Висуваються математичні теорії реальних явищ, а висновки з цих теорій перевіряються на досліді. Однак зв’язки математики з практикою є ширшими, бо поняття математики: теореми, задачі, математичні теорії пов’язані із запитами практики. З часом ці зв’язки стають глибшими і різноманітнішими. Математику можна застосувати до вивчення будь-якого типу руху. Проте в дійсності її роль в різних галузях наукової і практичної діяльності неоднакова. Особливо великою є роль математики у вивченні тих явищ, для яких навіть значне абстрагування від їхніх специфічних якісних характеристик не змінює істотно притаманних цим явищам кількісних і просторових закономірностей. Наприклад, у небесній механіці тіла вважають матеріальними точками (тобто абстрагуються від реальності); обчислені таким способом рухи небесних тіл збігаються з дійсними рухами цих тіл. Користуючись математичним апаратом, можна не тільки дуже точно передобчислювати небесні явища (затемнення, положення планет тощо), але й за відхиленням істинних рухів від обчислених зробити висновок про наявність невидимих неозброєним оком небесних тіл. Саме так було відкрито планети Нептун (1846) і Плутон (1930). В зв’язку з бурхливим розвитком космічних польотів небесна механіка набула все більшого значення. Механіка і фізика стали, по суті, математичними науками. Менше, але все ж значне місце посідає математика в економіці, біології, медицині, лінгвістиці. Для цих наук особливого значення набула математична статистика. Якісна своєрідність явищ, що вивчаються, наприклад, у біології, настільки значна, що роль математичного аналізу при дослідженні їх поки що є підпорядкованою. Процес математизації наук, що почався з 18 ст., тепер набув винятково інтенсивного розвитку.

Історію математики вчені зазвичай поділяють на чотири періоди:

  • період зародження математики як самостійної дисципліни — тривав приблизно до 6—5 століття до н. е. В цей період формувались поняття цілого числа і раціонального дробу, поняття відстані, площі, об’єму, створювались правила дій з числами та найпростіші правила для обчислення площ фігур і об’ємів тіл. Математика не мала ще форми дедуктивної науки, вона являла собою збірник правил для виконання певного роду дій. У всіх математичних текстах (єгипетських, вавилонських), що дійшли до нас, математичні знання викладалися саме в такій формі.

  • період елементарної математики — тривав від 6—5 ст. до н. е. до середини 17 століття. В цей період на основі невеликої кількості вихідних тверджень — аксіом будувалася геометрія як дедуктивна наука. Математика перестала бути безіменною наукою. З історії математики відомі імена багатьох вчених давньої Греції (Фалес, Піфагор, Гіппократ Хіоський, Демокріт,Евдокс, Евклід, Архімед та ін.), Китаю (Чжан Цан, Ген Шоу-чан, Цзу Чун-чжі та ін.), Середньої Азії (Джемшід ібн-Масуд аль-Каші, Мухаммед бен-Муса аль Хорезмі та ін.), Індії і пізнішеЗахідної Європи (Лодовіко Феррарі, Нікколо Тарталья, Джироламо Кардано, Сімон Стевін та ін.), що зробили значний вклад у математику.

Фалес Мілетський


Піфагор

                                   

  • Третій період (середина 17 ст. — початок 20 ст.) — період дослідження змінних величин. Природознавство і техніка дістали новий метод вивчення руху і зміни — диференціальне числення та інтегральне числення. Створився ряд нових математичних наук — теорія диференціальних рівнянь, теорія функцій, диференціальна геометрія, варіаційне числення та ін., що значно розширили предмет і можливості математики. Велику роль у розвитку математики цього періоду відіграли й українські математики. Микола Лобачевський відкрив неевклідову геометрію, Михайло Остроградський зробив визначні відкриття в механіці, математичному аналізі, математичній фізиці, Пафнутій Чебишов поклав початок новому напряму в теорії функцій, зробив значні відкриття в теорії чисел, теорії імовірностей, механіці, наближеному аналізі. До цього ж періоду відноситься діяльність таких видатних вчених, як Олександр Ляпунов, Андрій Марков (старший), Георгій Вороний та багатьох інших.





Микола Лобачевський
Пафнутій Чебишов

                             

  • Четвертий період — період сучасної математики — характеризується свідомим і систематичним вивченням можливих типів кількісних співвідношень і просторових форм. У геометрії вивчається вже не лише тривимірний простір, а й ін. подібні до нього просторові форми. Характерними напрямами розвитку математики цього періоду є теорія множин, функціональний аналіз, математична логіка, сучасна алгебра, теорія імовірностей, топологія тощо.

Розвиток сучасної математики XVI століття в Західній Європі став визначним у досягненнях алгебри та арифметики. 1582 року іспанський король Філіп II заснував першу в Європі математичну академію.

З 17 століття розвиток математики істотною мірою взаємокоординується з розвитком фізики, механіки, низки технічних дисциплін, зокрема гірництва. Математика широко застосовується, наприклад, для складання та опрацювання математичних моделей технологічних процесів.

Математики ввели в ужиток десяткові дроби, а також правила арифметичних дій з ними. Справжній фурор викликав Дж. Непер, який у 1614 році винайшов логарифми. Вже в кінці XVII століття склалося чітке розуміння логарифмів як показників ступенів з абсолютно будь-яким позитивним числом, але тільки не одиницею. У XVI столітті стали активно використовувати ірраціональні числа. Б. Паскаль (1623—1662 рр..), а також І. Барроу (1630—1677 рр.), який був вчителем І. Ньютона (1643—1727 рр.) і викладав у Кембриджському університеті, заявив, що число корінь з двох, можна трактувати виключно як геометричну величину і більше ніяк. Але в той же час Р. Декарт (1596—1650 рр.) і Дж. Валліс (1616—1703 рр.) стверджували наступне: ірраціональні числа припустимі і без посилань на геометрію, тобто самі по собі. Однак у XVI столітті відновилися суперечки з приводу законності від’ємних чисел, а також комплексних чисел (Декарт їх назвав «уявними»), які виникали при розв’язуванні квадратних рівнянь. Незважаючи на доказову базу, ці числа були під підозрою аж до XVIII століття, незважаючи на те, що Л. Ейлер (1707—1783) ними користувався. Комплексні числа остаточно були визнані тільки в XIX столітті, після того, як математики того часу повністю ознайомилися з їх геометричним представленням.

Створення диференціального й інтегрального числень ознаменувало початок «вищої математики». Методи математичного аналізу, на відміну від поняття межі, що лежить в його основі, виглядали чіткими і зрозумілими. Багато років математики, у тому числі Ньютон і Лейбніц, марно намагалися дати точне визначення поняттю межі. І все ж, незважаючи на численні сумніви в обґрунтованості математичного аналізу, він знаходив все більш широке застосування.  Диференціальне і інтегральне числення стали наріжними каменями математичного аналізу, який з часом включив в себе і такі предмети, як теорія диференціальних рівнянь, звичайних і з частковими похідними, нескінченні ряди, варіаційне числення, диференціальна геометрія і багато іншого. Строге визначення межі вдалося отримати лише в 19-му столітті.

Істотна особливість сучасної математики полягає в тому, що питання предмету і методів дослідження математики привертає особливу увагу математиків. Надзвичайне розширення предмету математики зосередило в ХІХ ст. увагу на питанні її «обґрунтування», тобто критичному перегляді її аксіом, побудові строгої системи означень і доведень, а також критичному розгляді логічних прийомів, що використовуються при доведенні.

До останнього часу ще зустрічаються випадки, коли строге обґрунтування математичних теорій, що виникають з практичних потреб, дещо запізнюється. Так було з операційним численням. І нині ще відсутнє строге обґрунтування багатьох математичних методів, які широко застосовуються в сучасній теоретичній фізиці, де багато важливих результатів отримано за допомогою «незаконних» (інтуїтивних) математичних прийомів.

До кінця ХІХ ст. склався стандарт вимог до логічної строгості математичної теорії. Цей стандарт ґрунтується на теоретико-множинній концепції будови будь-якої математичної теорії. Інший бік будови будь-якої математичної теорії висвітлює математична логіка. Було показано, що поняття математичної теорії у сенсі теорії, що охоплюється єдиною системою аксіом теоретико-множинного типу, істотно ширше, ніж логічне поняття дедуктивної теорії.

Важливі результати, які мають транскультурне значення, отримав К.Гьодель (1931 р.). Він встановив принципову неможливість повної формалізації математики і довів дві важливі теореми про неповноту аксіоматичних теорій. Перша теорема стверджує: якщо аксіоматична теорія несуперечлива, то в ній існують твердження, які не можуть бути ні доведені, ні спростовані в межах цієї теорії. Друга теорема: несуперечливість теорії не може бути доведена засобами лише цієї теорії. Результати Гьоделя показали, що обґрунтування математики в межах лише самої математики принципово неможливе. Ці теореми Гьоделя були визнані як одні з найвидатніших досягнень математики ХХ ст. Вони знайшли свою інтерпретацію у філософії, фізиці та інших теоретичних науках сучасності.

Останнім часом у результаті розвитку математичної логіки почала створюватися загальна теорія алгоритмів і алгоритмічної можливості розв’язання математичних проблем. Практичні перспективи цих теорій дуже великі, особливо у зв’язку з сучасним розвитком обчислювальної техніки.

Наприкінці ХІХ ст. і на початку ХХ ст. одержали бурхливий розвиток усі розділи математики. В алгебрі виникли нові галузі: теорія груп, полів, кілець і т.д., які набули глибокого застосування в природознавстві: теорія груп – у кристалографії, а пізніше – в питаннях квантової фізики.

На межі між алгеброю і геометрією Софус Лі створив (з 1873 р.) теорію неперервних груп, методи якої дещо пізніше почали застосовуватися в усіх нових розділах математики і природознавства. Диференціальна геометрія евклідового тривимірного простору отримала систематичний розвиток у працях Е.Бельтрамі, Г.Дарбу.

Широке застосування одержали конформні відображення при розв’язанні крайвих задач для рівнянь з частинними похідними, при вивченні плоских плинів ідеальної рідини й у задачах теорії пружності.

Ф.Клейн і А.Пуанкаре створили теорію автоморфних функцій, в якій знайшла застосування геометрія Лобачев¬ського. Конформні відображення застосовують в аеромеханіці (М.Жуковський, С.Чаплигін).

У результаті систематичної побудови математичного аналізу на основі строгої арифметичної теорії ірраціональних чисел і теорії множин виникла нова галузь – теорія функцій дійсної змінної (К.Жордан, Е.Борель, А.Лебег, Р.Бер). Ця теорія дуже вплинула на розвиток багатьох інших розділів математики.

Подальший розвиток одержала теорія диференціальних рівнянь. Для розв’язання складних лінійних систем були створені методи операційного числення. При дослідженні нелінійних систем з малою нелінійністю почав широко застосовуватися метод розкладу за параметром. Продовжила свій розвиток аналітична теорія звичайних диференціальних рівнянь і були закладені основи топології та теорії динамічних систем (А. Пуанкаре та ін.).

У кінці ХІХ ст. і на початку ХХ ст. теорія ймовірностей отримала багато нових застосувань завдяки розвитку статистичної фізики, механіки і розробці апарату математичної статистики. Найбільш глибокі теоретичні дослідження із загальних питань теорії ймовірностей наприкінці ХІХ ст. і на початку ХХ ст. належать російській школі (П.Чебишев, А.Марков, О.Ляпунов та ін.).

Наприкінці ХІХ ст. і на початку ХХ ст. чисельні методи аналізу виросли в самостійну галузь наукових досліджень.

З другої половини ХІХ ст. розпочалася інтенсивна розробка питань історії математики.

Розвиток математики у ХХ ст. проходив у напрямку: від локального до глобального, від лінійного до нелінійного, від скінченновимірного до нескінченновимірного. Математику ХХ ст. можна поділити на дві половини. Перша половина була епохою спеціалізації. У цю епоху був дуже впливовим підхід Д.Гільберта: прагнути все формалізувати, акуратно визначити, а потім послідовно робити в кожній галузі все, що можливо. До цієї тенденції також приєднується програма Н.Бурбакі, яка зосереджувалась на дослідженні (у межах можливостей даного часу) певних математичних структур.

Друга половина ХХ ст. більшою мірою стала епохою об’єднання, коли межі руйнуються, методи переносяться з однієї галузі в іншу і йде колосальне перехрещення ідей, методів, підходів до розв’язання актуальних проблем. Прикладом може слугувати справжня навала нових ідей з фізики (зокрема, з квантової теорії поля) в математику протягом останньої чверті ХХ ст., що пов’язано з розвитком супералгебри, супераналізу, пошуком суперсиметрій диференціальних рівнянь. І, навпаки, математичні методи напрочуд ефективно застосовуються у фізиці, зокрема, фізиці високих енергій і елементарних частинок. При цьому цілком справедливо вважається, що значно важче прийти до нової ідеї, ніж потім до її обґрунтування. Іншим прикладом розвитку математики наприкінці 20 ст. став приголомшуючий факт, що Велика теорема Ферма і знаменита гіпотеза Рімана є наслідками однієї й тієї ж математичної схеми. Це є проявом універсалізму математики.

Потреби самої математики й природознавства, швидкий прогрес обчислювальної техніки привели до появи цілого ряду нових математичних дисциплін. На основі задач теорії керуючих систем, комбінаторного аналізу, теорії графів, теорії кодування виникла дискретна математика. Питання про найкраще керування фізичними та механічними системами привели до створення математичної теорії оптимального керування, близькі питання про керування об’єктами в конфліктних ситуаціях – до виникнення і розвитку теорії диференціальних ігор.

Нинішнє ХХІ ст. може стати епохою квантової математики. Квантова математика, у широкому сенсі, означає справжнє розуміння аналізу, геометрії, топології, алгебри в різних нелінійних функціональних просторах, а справжнє розуміння буде полягати у відшуканні цілком строгих доведень усіх тих важливих фактів, які сприймаються сьогодні фізиками і математиками лише інтуїтивно.

Викладач математики Серебрякова Юлія